Opisujesz sprawę bardzo zawile, wręcz tajemniczo. Za mało tutaj szczegółów, za dużo pretensji... Nie widzę niczego złego w adresowaniu kopert przez stażystę na samym początku stażu. Poza tym nie piszesz też na ile często odbywa się to "bieganie po urzędach"... Swoją drogą czy musisz biegać? Czy UM nie posiada gońca albo kierowcy, ewentualnie czy nie możesz skorzystać z biletów komunikacji miejskiej na koszt organizatora stażu, aby dostarczyć dokument do innego urzędu? Z całym szacunkiem, ale praca w takich instytucjach jak UM (także etatowych pracowników) wiąże się również z dostarczaniem korespondencji do innych instytucji. A praca stażystów z reguły opiera się na pracach bardzo prostych np. adresowaniu kopert w celu zarówno poznania zasad obiegu dokumentacji, ale także w celu pomocy pracownikom w wykonywaniu innych (często dużo bardziej trudniejszych i odpowiedzialnych) zadań.
Nie wiem jakie masz oczekiwania odnośnie stażu, ale nie jestem w stanie bez dogłębnej analizy przypadku orzec jakie masz szanse rozstrzygnąć sprawę na Twoją korzyść. Lekarz medycyny pracy też nie widział przeciwskazań orzekając o Twojej zdolności do podjęcia stażu w UM.
Powiem tak: próbuj udowodnić PUP, że skierowanie Ciebie na ten staż było ich błędem, a nie Twoim... choć osobiście nie jestem do tego przekonana.